●均一腐食　→　平均値問題

　●孔食・すきま腐食・応力腐食割れ等の局部腐食　→　極値問題

　

　多数の局部腐食のうち、最も深く進行し、材料の肉厚を貫通するまでの時間がその材料の寿命。石油タンク底板の寿命を考える場合に、局部腐食の深さに関して、その最大値が問題となる。

　

　n箇所の測定値の最大値をそれぞれ、X₁, X₂, ･･･････X_i ･･･X_n　とする。最大値 X₁, X₂, ･･･････X_i ･･･X_n の分布が極値分布である。表2にn=23の場合の最大値の度数分布表を示した。

　最大値の度数分布から以下の値を計算する。

　

(1).累積度数Ｆ_ｉの計算　

　最大値の分布を検討する場合、度数（ｆ_ｉ） を小さい方から累積し、Ｆ_ｉ を計算する。

　

(2).累積分布Ｆ_ｉ/(ｎ+１)の計算と二重指数確率紙へのプロット

　累積度数（Ｆ_ｉ）を試料個数ｎに１を加えた値（ｎ+１）で割って累積分布（Ｆ_ｉ/(ｎ+１)）を算出する(表1のFの計算を参照のこと)。ｎはデータ数である。平均ランク法という。結果を表.2に示した。これを二重指数確率紙に、ｘ軸上に腐食量を目盛り、各クラスの上限値をｘ値とし、Ｆ_ｉ/(ｎ+１)をＦ_Ｉ(ｘ)値としてプロットする。表2の場合、n=23である。１カ所当たりのサンプリングデータ数は100である。
　

　二重指数分布は、Gumbel分布とも呼ばれている。これには，最大値分布と最小値分布がある。局部腐食による損傷おいて一番問題となるのは、その最大侵食量、それによる装置の最小寿命の予測であることに対応している。

　最大値分布Ｆ_Ｉ(ｘ)、最小値分布Ｆ_−Ｉ(ｘ)の式は次式によって与えられる。

　

　　Ｆ_Ｉ(ｘ)=exp[−exp{−(ｘ−λ)/α}]　　　　 -∞<x<∞

　　Ｆ_−Ｉ(ｘ)=1−exp[−exp{−(ｘ−λ)/α}]　　-∞<x<∞

　　　　　　　　　　　　　　　　　 λ:位置パラメータ[=最頻値]　 α:尺度パラメータ

　

それぞれの密度関数は、

　

　　ｆ_Ｉ(ｘ)= (1/α)･exp[−(α−λ)/α−exp{−(ｘ−λ)/α}]　　

　　ｆ_−Ｉ(ｘ)=(1/α)･exp[(α−λ)/α −exp{(ｘ−λ)/α}]　　　

　

で与えられる。
　

　ここで，α、λは位置パラメータ，尺度パラメータと呼ばれ，α＞０である。密度関数が導かれる過程において、ｘが大きい領域で基本分布が指数分布となることが仮定されている。極値解析を行う場合、基本分布が不明であっても手続き上不都合はないのであらかじめチェックする必要はない。ただし、最大値のデータが推定された二重指数分布に適合しているかどうかは検定によって確かめることになる。
　

　　　　　Ｆ_Ｉ(ｘ)=exp[−exp{−(ｘ−λ)/α}]

　　　　　　　　　　　λ :位置パラメータ[=最頻値]、α :尺度パラメータ
　

　　　　　　　　　　　　　

　

　ここで，　　 　　
　　　　

　とおき、　yは二重指数分布における規準化変数と定義する。　　　　　

　 　　　　Ｆ_Ｉ(ｘ)=　exp(-e^-y)　　　　　 -∞<x<∞

　　 　　　Ｆ_−Ｉ(ｘ)=1−exp (-e^-y) 　　-∞<x<∞
　

●二重指数確率紙

　二重指数確率紙は、直交座標系の１軸に

　　　　　　　　　　

を目盛り，他の一軸に確率変数ｘを目盛った方眼紙である。縦軸にＦ_Ｉ(ｘ)、横軸にｘにとり、データをプロットして，直線のまわりのばらつきが一定の範囲内にあれば二重指数分布に従っていると判断される。この直線からパラメータα、λを求める。y と　x　が　y = ax + b の直線となることがプロットして明確になれば最小二乗法で計算することができる。

　

　　　 　の関係から、y = 0 とおくと

　　　　　

　

　　 ∴

　

　となるので、y = 0 、F₁(x) =　0.368 を与えるx の値がλとなる。
　　

図8　コンピュータ処理した場合の確率紙でのデータ

　　　　　　　　　　　　　　直線は最小二乗法により決定している。α、λの値も自動的に計算
　

　表2のデータの パラメータλ，αを求めた結果、ｙ=3.4573ｘ−4.426が求められたので、データ例の場合は、α=0.289、λ=1.253が得られた。分布関数Ｆ_Ｉ(ｘ)は、データ例の場合は、

　

　　　　　　　　　　　 Ｆ_Ｉ(ｘ)= exp[-exp{-(ｘ-1.253)/0.289}]　　　　　　

となる。
　

　１つのサンプル領域から，１個の最大値ｕが得られる場合に、ある値ａより大きな値が得られるまでには何カ所の領域について調べることになるのかを考えてみる。今，この数をＮとすると、その確率はＰ(Ｎ）は次のようになる。はじめから（Ｎ−１）箇所までのｕのそれぞれがａより小さい確率がＦ(ａ)であるから、（Ｎ−１）箇所すべてにおいて、ａより小さい確率はＦ(ａ)^Ｎ−１である。Ｎ番目の領域で、ｕがａより大である確率は｛１−Ｆ(ａ)｝である。従って、

　

　 　　　　　　　Ｐ(Ｎ)　＝｛Ｆ(ａ)｝^Ｎ−１・｛１−Ｆ(ａ)｝　　　　　　　

　

Ｎの期待値Ｔは再帰期間である。

　

Ｆ＜１であるから

　　　　　　　　　　

　　Ｔ＝１／｛１−Ｆ（ａ）｝　　　　　　(5)

　

となり、確率紙におけるＴ目盛りとＦ(ｘ)目盛りの関係は（1）式の関係がある。

　
　次にＴを設定する。今考えている全底板を対象領域に考えると、次式が成り立ち、データを適用すると次式の結果となる。

　

【例１】

　 Ｔ＝（全低板面積）／（ サンプル領域１つの面積）
　　 ＝ (π/4)･D^２／（10×10）　＝ 5,772,300　　　

　

　　　　ただし，タンク直径D=27.11m、測定領域は10 mm×10 mmである。

　

　Ｔに対応するｘ（ｘ_ｍａｘとおく）を求めると、

　

　　　　−l n｛−l nＦ_Ｉ(ｘ)｝＝(ｘ−λ)／αとＴ＝１／｛１−Ｆ(ａ)｝式から

　

　　　　　　 ｘ_ｍａｘ=λ＋α・l n｛−l n（１−１／Ｔ）｝

　

となり，Ｔ＞＞１であるから，

　

　　　　　　　ｘ_ｍａｘ=λ＋α・l n Ｔ

　

　Ｔ＝577230，λ＝1.253, α=0.289を上式に代入すると、ｘ_ｍａｘ＝5.473が得られる。

　

　残存寿命をＺ[年］とすると、

　

　　　　　　　 Ｚ＝（残存板厚）／（腐食速度） ＝（ｔ_ｏ−ｔ）／Ｙ　 ＝ 0.0025　年

　　　　　　　　　　

　ここに、初期板厚ｔ_ｏ＝6.0 mm、現状の最小板厚（ｘ_ｍａｘ）、ｔ= 5.473、タンクの使用年数Ｙ＝15年である。
　

【例2】 サンプリング領域の500倍の面積を有する試験片に生ずる最大孔食深さを推定する

　

　500倍の面積を有する試験片は試験片数N=500の小面積試験片をサンプリングした場合と同一であり、材質も同じであれば確率紙で同一直線上に乗る。F=N/(N+1)=500/501の再帰期間Tを計算すると T=1/(1-F)=N+1=501,　501≒500 ,　T ≒N

　点Aを通る横軸と縦軸に平行な直線を引くとB点のxの値が求める500倍の面積を有する試験片に生ずる最大孔食深さと推定できる。

　＊【例１】では数式からｘ_ｍａｘを求めたが、【例2】では確率紙から図式的にｘ_ｍａｘ　を求めた。

　

　

　これまでに述べたような方法で、推定された二重指数確率分布が実測値を表しているものであるか否かを判定する必要がある。χ^２検定とK.S検定法がある。ここでは、χ^２検定を得られた結果に対して適用する。

　
　観測されたデータをk個のクラスに分けてi番目のクラスの下限をβi,上限をβi+1、また、このクラスにデータの数をNiとし、全データ数をNとする。このとき、i番目に含まれるデータの期待度数は次式で与えられる。
　　　　　　　　　　

　このとき

　　　　　　　　　

は、自由度 k-C-1 のχ²分布に従うことが知られている。Cは未知の分布のパラメータの数である。測定されたデータを使って当てはめようとする分布のパラメータを推定した場合、パラメータは未知であるとして扱われる。χ^２検定は求めた値χ^２がχ^２分布表から求めた値より小さければ分布に適合すると考える。

　
　χ^２分布表から求める値は、今ある定数αを考えて

　　　　　　　　　

　

　を満たすαである。ここに、h_k-1(x)　は

　　　　　　　　　　

であり、Γ(x)はΓ関数である。

　
　f(x)に、ある値ａをとり、上式に代入すると、

　　　　　　　　　　　

　α^＊はχ^２値すなわち、ｘがａよりも大きい確率を与える。このα^＊が十分小さく、（ａ≦ｘ）とすると、そのようなｘ値が発生することはまれであり、N_ｉは実測値であるからｘがａより大きくなってしまったのは、N･Pi すなわち推定した理論値に問題があったわけである。すなわち、理論式が適切ではないと判定される。この判定内容はα^＊の値によって左右される。α^＊は危険率あるいは有意水準と呼ばれる。

　

【計算例】

　石油タンク底板腐食量のサンプリングデータを表4のようにクラス分けし、腐食量の範囲に存在する実測値から、推定された二重指数分布が実測値を表しているかどうか判断するために、このデータの場合のχ^２検定を行う。

　i番目のクラスに含まれるデータの期待度数は次式で与えられる。

　

　　　　　　　　　　　　　

　

　具体的に、Table.3で、i=2のとき、β₁ = 1.25、β₂= 1.55　である。

　

　F(x)と f(x)の関係、

　　　　　　　　　　　　　　　

から　　となり、　Ｆ_Ｉ(ｘ)は次式で与えられている。

　

　　 Ｆ_Ｉ(ｘ) = exp[−exp{−(ｘ−1.253)/0.289}]　　　　　　 λ＝1.253, α=0.289

　

データの期待度数は

　　　　　　　　　　N･Pi = N｛F(β₂ )-F(β₁ )　　　 N=23

となる。
　

　同様に各クラスのχ^２値は　(Ni - N･Pi )²/N･Pi で計算される。計算結果を表4に示した。
　

　ここで，上記の方法で推定された二重指数分布が実測値を表しているかどうか判断するために、このデータの場合のχ^２検定を行う。計算の結果、χ²値は4.405となった。ここで、χ^２ 分布表を参照することになるが、自由度ｋは、ｋ=（クラス数−パラメータ数−１）である。クラス数5，分布のパラメータ数はαとλの2つ。ｋ=5-2-1 =2となる。有意水準^＊を５％とすると、　

　

　　　　χ=4.405，ａ=5.991

　

となり、χ＜ａである。従って二重指数分布(3)式は５％の危険率で棄却されない、すなわち二重指数分布の仮定は正しいと言うことができる。
　

　参考文献

1) 装置材料の寿命予測入門―極値統計の腐食への適用 、腐食防食協会

　＊この書籍は具体例が豊富で極値統計について最も詳細に書かれている。残念ながら現在は絶版になってしまっている。